3.2 曲面

来源：Mario Botsch 等人的 Polygon Mesh Processing，第 3 章 Differential Geometry，3.2 小节 Surfaces。

3.1 曲线 讲了平面曲线的长度和曲率。3.2 把这些概念推广到嵌入在 $\mathbb{R}^3$ 中的光滑曲面。

这一节是后续离散微分算子的基础。3.3 中的三角网格法向、曲率、Laplace-Beltrami 离散化，都在模拟本节这些连续概念。

本节核心

曲线只有一个参数：

$$\mathbf{x}(u)$$

曲面有两个参数：

$$\mathbf{x}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v)\\ y(u,v)\\ z(u,v) \end{bmatrix}$$

其中：

$$(u,v)\in\Omega\subset\mathbb{R}^2$$

也就是说，曲面可以看成从二维参数域 $\Omega$ 到三维空间的映射：

$$\mathbf{x}:\Omega\rightarrow S\subset\mathbb{R}^3$$

本节主要回答：

1. 曲面上的长度、角度、面积如何计算？
2. 曲面的弯曲程度如何定义？
3. 曲线曲率如何推广成曲面的主曲率、平均曲率和高斯曲率？
4. Laplace-Beltrami 算子和平均曲率有什么关系？

3.2.1 曲面的参数化表示

书中用“世界地图”来解释曲面参数化。

把地球表面展开成地图，本质上是在找一个二维参数域：

$$(\theta,\phi)$$

来描述球面上的点。

球面的参数方程可以写成：

$$\mathbf{x}(\theta,\phi) = \begin{bmatrix} R\cos\theta\cos\phi\\ R\sin\theta\cos\phi\\ R\sin\phi \end{bmatrix}$$

其中：

$$\theta\in[0,2\pi], \qquad \phi\in[-\pi/2,\pi/2]$$

$R$ 是球半径。

这里：

• $\theta$ 类似经度。
• $\phi$ 类似纬度。

参数方程和隐式方程的区别

同一个球面也可以用隐式方程表示：

$$x^2+y^2+z^2=R^2$$

二者回答的问题不同。

表示	用途
参数方程	给定 $(\theta,\phi)$，生成球面上的点
隐式方程	给定 $(x,y,z)$，判断它是否在球面上

也就是：

parametric: parameters -> surface point
implicit:   space point -> on surface?

这和第 1 章中的参数表示 / 隐式表示是一致的。

iso-parameter curves

参数曲面上有两类自然曲线。

固定 $\theta$：

$$\theta=\text{constant}$$

得到 iso-$\theta$ curves。对球面来说，它们是经过两极的经线。

固定 $\phi$：

$$\phi=\text{constant}$$

得到 iso-$\phi$ curves。对球面来说，它们是纬线。

在参数域里，iso-curves 是横竖网格线；映射到曲面后，它们显示参数化如何拉伸和扭曲曲面。

信息

观察 iso-parameter grid 是理解参数化失真的好方法。球面地图在两极附近会严重扭曲，就是因为二维矩形参数域无法无失真地铺到球面上。

3.2.2 Metric Properties

曲线的 metric 由一阶导数 $\mathbf{x}'(u)$ 决定。

曲面的 metric 由两个偏导数决定：

$$\mathbf{x}_u = \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}$$ $$\mathbf{x}_v = \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v}$$

它们分别是两条 iso-parameter curve 的切向量。

切平面和法向量

在曲面点 $\mathbf{x}(u_0,v_0)$ 处，两个切向量：

$$\mathbf{x}_u,\quad \mathbf{x}_v$$

张成 tangent plane。

参数化 regular 的条件是：

$$\mathbf{x}_u\times\mathbf{x}_v\neq \mathbf{0}$$

也就是说，两个切向量不能共线或退化。

曲面单位法向量为：

$$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{x}_u\times\mathbf{x}_v} {\|\mathbf{x}_u\times\mathbf{x}_v\|}$$

这和三角形法向的计算非常像：两个边向量叉乘，再归一化。

参数域方向到曲面切向量

设参数域中有方向：

$$\bar{\mathbf{w}} = \begin{bmatrix} u_w\\ v_w \end{bmatrix}$$

在参数域中沿这条方向走：

$$(u,v)=(u_0,v_0)+t\bar{\mathbf{w}}$$

映射到曲面上得到一条曲线：

$$C_w(t) = \mathbf{x}(u_0+tu_w,\ v_0+tv_w)$$

它在 $t=0$ 处的切向量为：

$$\mathbf{w} = \frac{\partial C_w(t)}{\partial t}$$

由链式法则：

$$\mathbf{w} = \mathbf{x}_u u_w+\mathbf{x}_v v_w$$

也可以写成矩阵形式：

$$\mathbf{w} = J\bar{\mathbf{w}}$$

其中 Jacobian 为：

$$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_u & \mathbf{x}_v \end{bmatrix}$$

为什么满足 w = J w-bar？

曲面参数化是一个向量值函数：

$$\mathbf{x}(u,v) = \begin{bmatrix} x(u,v)\\ y(u,v)\\ z(u,v) \end{bmatrix}$$

参数域中的方向为：

$$\bar{\mathbf{w}} = \begin{bmatrix} u_w\\ v_w \end{bmatrix}$$

沿这个方向走一条参数域中的直线：

$$u(t)=u_0+tu_w, \qquad v(t)=v_0+tv_w$$

映射到曲面上得到曲线：

$$C_w(t) = \mathbf{x}(u(t),v(t))$$

曲面上的切向量就是这条曲线在 $t=0$ 处的导数：

$$\mathbf{w} = \left.\frac{dC_w(t)}{dt}\right|_{t=0} = \left.\frac{d\mathbf{x}(u(t),v(t))}{dt}\right|_{t=0}$$

对向量函数逐坐标使用链式法则：

$$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial v}\frac{dv}{dt}$$

因为：

$$\frac{du}{dt}=u_w, \qquad \frac{dv}{dt}=v_w$$

所以：

$$\mathbf{w} = \mathbf{x}_u u_w+\mathbf{x}_v v_w$$

把 $\mathbf{x}_u$ 和 $\mathbf{x}_v$ 作为矩阵的两列：

$$J = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_u & \mathbf{x}_v \end{bmatrix}$$

则矩阵乘法给出：

$$J\bar{\mathbf{w}} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_u & \mathbf{x}_v \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_w\\ v_w \end{bmatrix} = \mathbf{x}_u u_w+\mathbf{x}_v v_w$$

因此：

$$\mathbf{w}=J\bar{\mathbf{w}}$$

直观地说，$J$ 的两列分别表示“参数 $u$ 增加一点时曲面点往哪里动”和“参数 $v$ 增加一点时曲面点往哪里动”。任意参数方向 $\bar{\mathbf{w}}=(u_w,v_w)^T$ 都是这两个基本方向的线性组合，所以曲面上的切向量也是 $\mathbf{x}_u$ 和 $\mathbf{x}_v$ 的同样线性组合。

所以 $J$ 可以看作从参数域方向到曲面切向量的线性映射。

第一基本形式

Jacobian 不只把方向映射到切向量，它还编码了曲面的 metric。

第一基本形式定义为：

$$I = J^TJ = \begin{bmatrix} E & F\\ F & G \end{bmatrix}$$

其中：

$$E=\mathbf{x}_u^T\mathbf{x}_u$$ $$F=\mathbf{x}_u^T\mathbf{x}_v$$ $$G=\mathbf{x}_v^T\mathbf{x}_v$$

第一基本形式本质上是参数域上的一个内积矩阵。

给定参数域中的方向 $\bar{\mathbf{w}}$，曲面上对应切向量长度平方为：

$$\|\mathbf{w}\|^2 = \bar{\mathbf{w}}^TI\bar{\mathbf{w}}$$

因此它可以用来测量：

• 长度。
• 角度。
• 面积。

也常被称为 metric tensor。

曲面上曲线的长度

设参数域中有一条曲线：

$$\mathbf{u}(t) = \begin{bmatrix} u(t)\\ v(t) \end{bmatrix}$$

它映射到曲面上：

$$\mathbf{x}(\mathbf{u}(t))$$

其切向量为：

$$\frac{d\mathbf{x}(\mathbf{u}(t))}{dt} = \mathbf{x}_u u_t+\mathbf{x}_v v_t$$

曲线长度为：

$$l(a,b) = \int_a^b \sqrt{ \begin{bmatrix} u_t & v_t \end{bmatrix} I \begin{bmatrix} u_t\\ v_t \end{bmatrix} } \,dt$$

展开为：

$$l(a,b) = \int_a^b \sqrt{ E u_t^2+2F u_t v_t+G v_t^2 } \,dt$$

这就是第一基本形式用于测量曲面上曲线长度的方式。

曲面面积

参数区域 $U\subseteq\Omega$ 映射到曲面上，对应面积为：

$$A = \iint_U \sqrt{\det(I)} \,du\,dv$$

为什么面积元素是 sqrt(det(I)) du dv？

参数区域里的一个很小矩形可以写成：

$$[u,u+du]\times[v,v+dv]$$

它在参数域中的两条边方向分别是：

$$\begin{bmatrix} du\\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 0\\ dv \end{bmatrix}$$

经过曲面参数化 $\mathbf{x}(u,v)$ 映射到三维空间后，这两条小边近似变成两个切向量：

$$\mathbf{x}_u\,du, \qquad \mathbf{x}_v\,dv$$

所以曲面上的这个小面积片，局部近似为由 $\mathbf{x}_u\,du$ 和 $\mathbf{x}_v\,dv$ 张成的小平行四边形。它的面积是：

$$dA = \|\mathbf{x}_u\,du \times \mathbf{x}_v\,dv\|$$

把标量 $du,dv$ 提出来：

$$dA = \|\mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v\|\,du\,dv$$

接下来把这个结果和第一基本形式联系起来。第一基本形式为：

$$I = \begin{bmatrix} E & F\\ F & G \end{bmatrix}$$

其中：

$$E=\mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_u, \qquad F=\mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v, \qquad G=\mathbf{x}_v\cdot\mathbf{x}_v$$

因此：

$$\det(I) = EG-F^2 = \|\mathbf{x}_u\|^2\|\mathbf{x}_v\|^2 - (\mathbf{x}_u\cdot\mathbf{x}_v)^2$$

而两个向量叉乘面积满足：

$$\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2$$

令 $\mathbf{a}=\mathbf{x}_u,\mathbf{b}=\mathbf{x}_v$，就得到：

$$\|\mathbf{x}_u\times\mathbf{x}_v\|^2 = EG-F^2 = \det(I)$$

所以局部面积元素为：

$$dA = \sqrt{\det(I)}\,du\,dv$$

对整个参数区域 $U$ 积分，就得到：

$$A = \iint_U \sqrt{\det(I)} \,du\,dv$$

直观地说，$I=J^TJ$ 记录了参数域里的长度和角度在曲面上如何被拉伸；$\det(I)$ 记录的是面积缩放的平方，所以真正的面积缩放因子是 $\sqrt{\det(I)}$。

由于：

$$\det(I)=EG-F^2$$

所以：

$$A = \iint_U \sqrt{EG-F^2} \,du\,dv$$

这个公式也等价于：

$$A = \iint_U \|\mathbf{x}_u\times\mathbf{x}_v\| \,du\,dv$$

因为：

$$\|\mathbf{x}_u\times\mathbf{x}_v\|^2 = EG-F^2$$

数值例子：平面参数化

设一个平面 patch：

$$\mathbf{x}(u,v) = \begin{bmatrix} 2u\\ 3v\\ 0 \end{bmatrix}$$

偏导为：

$$\mathbf{x}_u= \begin{bmatrix} 2\\0\\0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x}_v= \begin{bmatrix} 0\\3\\0 \end{bmatrix}$$

所以：

$$E=\mathbf{x}_u^T\mathbf{x}_u=4$$ $$F=\mathbf{x}_u^T\mathbf{x}_v=0$$ $$G=\mathbf{x}_v^T\mathbf{x}_v=9$$

第一基本形式为：

$$I= \begin{bmatrix} 4&0\\ 0&9 \end{bmatrix}$$

单位参数方向 $(1,0)^T$ 映射后长度为 2。

单位参数方向 $(0,1)^T$ 映射后长度为 3。

一个单位参数正方形 $[0,1]\times[0,1]$ 的曲面面积为：

$$A=\sqrt{EG-F^2}= \sqrt{36}=6$$

它确实变成了 $2\times3$ 的矩形。

Anisotropy：各向异性

参数域中的一个小圆，通过参数化映射到曲面后，一般会变成一个小椭圆。

这个椭圆叫 anisotropy ellipse。

它描述参数化在不同方向上拉伸得是否一样。

第一基本形式 $I$ 的特征向量给出主拉伸方向，特征值给出拉伸量平方。

设 $I$ 的特征值为：

$$\lambda_1,\lambda_2$$

则对应的伸缩因子为：

$$\sigma_1=\sqrt{\lambda_1}, \qquad \sigma_2=\sqrt{\lambda_2}$$

它们也是 Jacobian $J$ 的 singular values。

如果：

$$\sigma_1=\sigma_2$$

说明局部各方向伸缩相同。

如果：

$$\sigma_1\gg\sigma_2$$

说明参数化在某个方向被强烈拉伸，局部失真大。

提示

参数化质量常常可以从 $J$ 或第一基本形式的奇异值看出来：奇异值越接近，局部越接近等距或保角；差异越大，各向异性越强。

3.2.3 曲面曲率

曲线曲率衡量曲线怎么弯。

曲面有无穷多个切方向，因此要考虑每个切方向上的弯曲。

给定曲面点 $p$ 和一个切向量 $\mathbf{t}$，取由 $\mathbf{t}$ 和法向 $\mathbf{n}$ 张成的平面。

这个平面与曲面相交，得到一条平面曲线，叫 normal section。

这条 normal section 在 $p$ 处的曲率，叫该方向的 normal curvature：

$$\kappa_n(\bar{\mathbf{t}})$$

第二基本形式

曲面曲率需要二阶导数。

二阶偏导为：

$$\mathbf{x}_{uu}, \qquad \mathbf{x}_{uv}, \qquad \mathbf{x}_{vv}$$

第二基本形式定义为：

$$II = \begin{bmatrix} e&f\\ f&g \end{bmatrix}$$

其中：

$$e=\mathbf{x}_{uu}^T\mathbf{n}$$ $$f=\mathbf{x}_{uv}^T\mathbf{n}$$ $$g=\mathbf{x}_{vv}^T\mathbf{n}$$

第一基本形式描述 metric，第二基本形式描述法向方向上的弯曲。

Normal curvature 公式

设参数域中的切方向为：

$$\bar{\mathbf{t}} = \begin{bmatrix} u_t\\ v_t \end{bmatrix}$$

则 normal curvature 为：

$$\kappa_n(\bar{\mathbf{t}}) = \frac{\bar{\mathbf{t}}^TII\bar{\mathbf{t}}} {\bar{\mathbf{t}}^TI\bar{\mathbf{t}}}$$

展开：

$$\kappa_n(\bar{\mathbf{t}}) = \frac{ e u_t^2+2f u_t v_t+g v_t^2 } { E u_t^2+2F u_t v_t+G v_t^2 }$$

它是“二阶弯曲量”除以“一阶 metric 长度量”。

主曲率和主方向

在一个曲面点处，normal curvature 随切方向变化。

其中最大值和最小值称为 principal curvatures：

$$\kappa_1,\quad \kappa_2$$

通常约定：

$$\kappa_1=\text{maximum curvature}$$ $$\kappa_2=\text{minimum curvature}$$

对应的切方向称为 principal directions：

$$\mathbf{t}_1,\quad \mathbf{t}_2$$

如果：

$$\kappa_1\neq\kappa_2$$

主方向是唯一的，并且互相正交。

如果：

$$\kappa_1=\kappa_2$$

该点称为 umbilical point，所有方向都可以看成主方向。

球面上每一点都是 umbilical point，因为各个方向弯曲一样。

平面上每一点也是 umbilical point，因为各个方向曲率都为 0。

Euler theorem

Euler 定理说明：任意方向的 normal curvature 都由两个主曲率决定。

如果 $\psi$ 是切方向 $\mathbf{t}$ 与主方向 $\mathbf{t}_1$ 的夹角，则：

$$\kappa_n(\bar{\mathbf{t}}) = \kappa_1\cos^2\psi +\kappa_2\sin^2\psi$$

这说明任意方向曲率都是 $\kappa_1$ 和 $\kappa_2$ 的组合。

因此，只要知道两个主曲率和主方向，就知道该点全部方向上的弯曲行为。

曲率张量

局部曲率也可以用 curvature tensor 表示。

它是一个对称 $3\times3$ 矩阵 $C$。

其特征值为：

$$\kappa_1,\quad \kappa_2,\quad 0$$

对应特征向量为：

$$\mathbf{t}_1,\quad \mathbf{t}_2,\quad \mathbf{n}$$

如果：

$$P= \begin{bmatrix} \mathbf{t}_1&\mathbf{t}_2&\mathbf{n} \end{bmatrix}$$

并且：

$$D=\operatorname{diag}(\kappa_1,\kappa_2,0)$$

则：

$$C=PDP^{-1}$$

这个表示把“两个切向曲率 + 法向无曲率”统一写成矩阵形式。

平均曲率

Mean curvature 定义为两个主曲率的平均：

$$H = \frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$$

它在几何处理中非常重要，例如：

• smoothing。
• fairing。
• mean curvature flow。
• Laplace-Beltrami 离散化。

平均曲率可以理解为曲面整体弯曲趋势。

高斯曲率

Gaussian curvature 定义为两个主曲率的乘积：

$$K = \kappa_1\kappa_2$$

它可以用来分类曲面点。

条件	类型	几何直觉
$K>0$	elliptic point	两个方向同号，局部像碗或帽子
$K<0$	hyperbolic point	两个方向异号，局部像马鞍
$K=0$	parabolic point	至少一个方向曲率为 0，常在区域分界上

数值例子

如果：

$$\kappa_1=2,\qquad \kappa_2=1$$

则：

$$H=\frac{2+1}{2}=1.5$$ $$K=2\times1=2>0$$

这是 elliptic point。

如果：

$$\kappa_1=2,\qquad \kappa_2=-1$$

则：

$$H=\frac{2-1}{2}=0.5$$ $$K=2\times(-1)=-2<0$$

这是 hyperbolic point，也就是马鞍区域。

Intrinsic geometry

只依赖第一基本形式 $I$ 的性质称为 intrinsic。

直观上，intrinsic geometry 是“生活在曲面上的二维生物”不看三维空间也能测到的性质。

例如：

• 曲面上曲线的长度。
• 曲面内角度。
• 曲面上两点沿表面的距离。

Gauss 的 Theorema Egregium 表明：高斯曲率 $K$ 是 intrinsic 的。

也就是说，高斯曲率可以仅由第一基本形式决定。

但平均曲率 $H$ 不是 intrinsic 的，它依赖曲面在三维空间中的嵌入方式。

一个经典直觉是：纸张可以从平面卷成圆柱，局部距离不变，但平均曲率变了；高斯曲率仍为 0。

Laplace 和 Laplace-Beltrami

后续章节会频繁使用 Laplace operator 和 Laplace-Beltrami operator。

在平面上，对函数 $f(u,v)$：

$$\Delta f = f_{uu}+f_{vv}$$

它也可以写成：

$$\Delta f = \operatorname{div}\nabla f$$

为什么 Laplace 可以理解为“散度作用在梯度上”？

先看平面上的标量函数：

$$f(u,v)$$

它的梯度是：

$$\nabla f = \begin{bmatrix} f_u\\ f_v \end{bmatrix}$$

梯度 $\nabla f$ 是一个向量场。它告诉我们：在每个点上，函数 $f$ 增长最快的方向是什么，以及增长有多快。

例如把 $f$ 想成地形高度，那么 $\nabla f$ 指向“上坡最快”的方向。

散度作用在一个向量场上。若有向量场：

$$\mathbf{V}(u,v) = \begin{bmatrix} V_1(u,v)\\ V_2(u,v) \end{bmatrix}$$

它的散度是：

$$\operatorname{div}\mathbf{V} = \frac{\partial V_1}{\partial u} + \frac{\partial V_2}{\partial v}$$

散度衡量的是：这个向量场在某个点附近整体上是“向外流出”还是“向内汇入”。

现在令向量场就是函数的梯度：

$$\mathbf{V}=\nabla f = \begin{bmatrix} f_u\\ f_v \end{bmatrix}$$

那么：

$$\operatorname{div}\nabla f = \frac{\partial f_u}{\partial u} + \frac{\partial f_v}{\partial v}$$

也就是：

$$\operatorname{div}\nabla f = f_{uu}+f_{vv} = \Delta f$$

所以 Laplace operator 可以理解为两步：

1. 先用 $\nabla f$ 找到函数往哪里增长。
2. 再用 $\operatorname{div}$ 看这个增长趋势是否在局部扩散或汇聚。

如果 $\Delta f>0$，通常表示该点附近像一个局部“谷底”，周围平均值比它大；如果 $\Delta f<0$，通常表示该点附近像一个局部“山顶”，周围平均值比它小。

在网格处理中，这个理解很重要：离散 Laplace 算子常常可以看作“当前点和邻域平均之间的差异”。

Laplace-Beltrami operator 是 Laplace operator 在曲面上的推广：

$$\Delta_S f = \operatorname{div}_S\nabla_S f$$

它作用在定义于曲面上的函数。

曲面上的梯度和散度是什么意思？

在曲面上，函数 $f$ 不再定义在普通平面上，而是定义在曲面 $S$ 上：

$$f:S\rightarrow\mathbb{R}$$

曲面梯度记作：

$$\nabla_S f$$

它仍然表示 $f$ 增长最快的方向，但这个方向必须贴在曲面上，也就是位于切平面中。

换句话说，$\nabla_S f$ 不是指向三维空间任意方向，而是沿着曲面表面走时，函数增长最快的切向方向。

曲面散度记作：

$$\operatorname{div}_S \mathbf{V}$$

其中 $\mathbf{V}$ 是曲面上的切向量场。它衡量这个切向量场沿着曲面本身是向外扩散，还是向内汇聚。

因此：

$$\Delta_S f = \operatorname{div}_S\nabla_S f$$

含义就是：

1. 先在曲面上求 $f$ 的最快变化方向。
2. 再看这个变化方向场在曲面上如何扩散或汇聚。

和普通 Laplace 的区别在于：曲面上的长度、角度、面积不是由平面坐标直接决定，而是由第一基本形式 $I$ 决定。因此 $\nabla_S$ 和 $\operatorname{div}_S$ 必须考虑曲面的 metric。

这也是为什么 Laplace-Beltrami 算子虽然形式上仍然是：

$$\operatorname{div}_S\nabla_S$$

但它比普通平面 Laplace 多了曲面几何信息。

Laplace-Beltrami 和平均曲率法向

当 Laplace-Beltrami operator 作用在曲面坐标函数 $\mathbf{x}$ 上时，有重要关系：

$$\Delta_S\mathbf{x} = -2H\mathbf{n}$$

右侧称为 mean curvature normal。

这条公式在网格处理中非常关键。

因为后续离散 Laplace-Beltrami 算子可以用来近似：

$$H\mathbf{n}$$

也就是平均曲率法向。

这也是 mesh smoothing、fairing、curvature flow 等算法的基础。

信息

虽然 $\Delta_S\mathbf{x}$ 和平均曲率有关，而平均曲率依赖三维嵌入；但 Laplace-Beltrami 算子本身是 intrinsic 的，它只依赖曲面的 metric。

和 3.1 的关系

3.1 中，曲线的长度由一阶导数决定：

$$l=\int\|\mathbf{x}'(u)\|\,du$$

3.2 中，曲面上的长度、角度、面积由第一基本形式决定：

$$I=J^TJ$$

3.1 中，曲线曲率由二阶导数决定：

$$\kappa=\|\mathbf{x}''(s)\|$$

3.2 中，曲面曲率由第二基本形式和第一基本形式共同决定：

$$\kappa_n = \frac{\bar{\mathbf{t}}^TII\bar{\mathbf{t}}} {\bar{\mathbf{t}}^TI\bar{\mathbf{t}}}$$

曲线只有一个弯曲方向；曲面有无穷多个切方向，因此需要主曲率来概括。

本节记忆点

• 曲面参数化写作：

$$\mathbf{x}(u,v):\Omega\rightarrow S\subset\mathbb{R}^3$$

• 两个偏导 $\mathbf{x}_u,\mathbf{x}_v$ 张成切平面。
• 曲面法向为：

$$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{x}_u\times\mathbf{x}_v} {\|\mathbf{x}_u\times\mathbf{x}_v\|}$$

• Jacobian 为：

$$J=[\mathbf{x}_u,\mathbf{x}_v]$$

• 第一基本形式为：

$$I=J^TJ = \begin{bmatrix} E&F\\ F&G \end{bmatrix}$$

• 曲面面积元素为：

$$\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv$$

• 第二基本形式为：

$$II= \begin{bmatrix} e&f\\ f&g \end{bmatrix}$$

• normal curvature 为：

$$\kappa_n = \frac{\bar{\mathbf{t}}^TII\bar{\mathbf{t}}} {\bar{\mathbf{t}}^TI\bar{\mathbf{t}}}$$

• 主曲率是 normal curvature 的最大值和最小值。
• 平均曲率：

$$H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$$

• 高斯曲率：

$$K=\kappa_1\kappa_2$$

• Laplace-Beltrami 与平均曲率法向的关系：

$$\Delta_S\mathbf{x}=-2H\mathbf{n}$$

后续问题

进入 3.3 时可以重点关注：

1. 三角网格是 piecewise linear surface，为什么不能直接使用连续二阶导数？
2. 离散法向如何由邻域三角形平均得到？
3. 离散 Gaussian curvature 如何由角缺陷 angle deficit 得到？
4. 离散 Laplace-Beltrami 的 cotangent weights 从哪里来？