3.1 曲线

• https://gemini.google.com/app/22491d4d0d840327?hl=zh

来源：Mario Botsch 等人的 Polygon Mesh Processing，第 3 章 Differential Geometry，3.1 小节 Curves。

第 3 章开始进入微分几何。书中先从平面曲线讲起，再推广到曲面和三角网格上的离散微分算子。

这一节的目标是建立几个基础概念：

• 参数曲线。
• 切向量。
• 法向量。
• 弧长。
• 弧长参数化。
• 曲率。
• 密切圆。

本节核心

考虑一条嵌入在平面中的光滑曲线：

$$\mathbf{x}:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^2$$

它可以写成：

$$\mathbf{x}(u) = \begin{bmatrix} x(u)\\ y(u) \end{bmatrix}$$

其中 $u$ 是参数。

曲线是这个函数的像：

$$C=\{\mathbf{x}(u)\mid u\in[a,b]\}$$

微分几何关心的不是某个具体参数 $u$，而是曲线本身的几何性质，例如长度和曲率。

切向量

曲线在参数 $u$ 处的切向量是坐标函数的一阶导数：

$$\mathbf{x}'(u) = \begin{bmatrix} x'(u)\\ y'(u) \end{bmatrix}$$

如果把曲线看成一个点随时间运动的轨迹，并令 $u=t$，那么：

$$\mathbf{x}'(t)$$

就是速度向量。

书中假设参数化是 regular 的，也就是：

$$\mathbf{x}'(u)\neq \mathbf{0} \quad \forall u\in[a,b]$$

否则某些点的切向量为零，曲线局部会退化，很多微分几何量无法稳定定义。

法向量

在二维平面中，可以把切向量旋转 $90^\circ$ 得到法向方向。

如果：

$$\mathbf{x}'(u) = \begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$$

那么一种 $90^\circ$ 旋转结果是：

$$\mathbf{x}'(u)^\perp = \begin{bmatrix} -b\\ a \end{bmatrix}$$

单位法向量为：

$$\mathbf{n}(u) = \frac{\mathbf{x}'(u)^\perp} {\|\mathbf{x}'(u)^\perp\|}$$

由于旋转方向可以选顺时针或逆时针，法向量的方向有符号约定。后面曲率的符号也会依赖这个约定。

同一条曲线可以有不同参数化

曲线由函数的像决定，不由某个具体参数化唯一决定。

例如：

$$\mathbf{x}_1(u) = \begin{bmatrix} u\\ u \end{bmatrix}, \quad u\in[0,1]$$

和：

$$\mathbf{x}_2(u) = \begin{bmatrix} u^2\\ u^2 \end{bmatrix}, \quad u\in[0,1]$$

它们都描述从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的同一条线段。

区别在于运动速度不同。

对 $\mathbf{x}_1$：

$$\mathbf{x}_1'(u) = \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$$

速度大小恒定：

$$\|\mathbf{x}_1'(u)\|=\sqrt{2}$$

对 $\mathbf{x}_2$：

$$\mathbf{x}_2'(u) = \begin{bmatrix} 2u\\ 2u \end{bmatrix}$$

速度大小为：

$$\|\mathbf{x}_2'(u)\| = 2\sqrt{2}u$$

它随 $u$ 改变。

所以参数化不同，但几何形状相同。

信息

微分几何希望研究的是不依赖具体参数化的性质，比如曲线长度和曲率，而不是“某个参数值处速度是多少”这种参数化相关量。

3.1.1 弧长

曲线段 $[c,d]\subseteq[a,b]$ 的长度为：

$$l(c,d) = \int_c^d \|\mathbf{x}'(u)\|\,du$$

这里：

$$\|\mathbf{x}'(u)\|$$

可以理解为单位参数变化对应的曲线长度变化，也就是速度大小。

因此切向量编码了曲线的 metric 信息。

数值例子：直线段长度

设：

$$\mathbf{x}(u) = \begin{bmatrix} u\\ u \end{bmatrix}, \quad u\in[0,1]$$

切向量：

$$\mathbf{x}'(u) = \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$$

速度大小：

$$\|\mathbf{x}'(u)\| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$$

所以总长度：

$$L = \int_0^1 \sqrt{2}\,du = \sqrt{2}$$

这正是点 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的欧氏距离。

弧长参数化

可以把原始参数 $u$ 转换成弧长参数 $s$：

$$s=s(u) = \int_a^u \|\mathbf{x}'(t)\|\,dt$$

其中 $s$ 表示从起点 $\mathbf{x}(a)$ 走到 $\mathbf{x}(u)$ 的曲线长度。

如果整条曲线长度为：

$$L = \int_a^b \|\mathbf{x}'(u)\|\,du$$

那么弧长参数把区间 $[a,b]$ 映射到：

$$[0,L]$$

弧长参数化的重要性质是：

从 $\mathbf{x}(0)$ 到 $\mathbf{x}(s)$ 的曲线长度正好等于 $s$。

这是一种长度保持的参数化，也就是 isometry。

弧长参数化下的单位速度

如果曲线用弧长 $s$ 参数化，那么：

$$\|\mathbf{x}'(s)\|=1$$

也就是说，沿曲线每走一个单位的 $s$，就在几何上走了一个单位长度。

这让很多公式更干净。

曲率定义就是在弧长参数化下最简单。

提示

曲线总能用弧长重新参数化。但书中提醒：曲面一般不能像曲线这样定义全局 canonical arc-length parameterization。这会在后面的曲面参数化中变得重要。

3.1.2 曲率

假设曲线已经用弧长 $s$ 参数化。

曲率定义为：

$$\kappa(s) := \|\mathbf{x}''(s)\|$$

直观理解：

• 一阶导数 $\mathbf{x}'(s)$ 是单位切向量。
• 二阶导数 $\mathbf{x}''(s)$ 描述切向量变化得多快。
• 切向量变化越快，曲线弯得越厉害。

因此曲率衡量曲线偏离直线的程度。

曲率和法向量

弧长参数化下，曲线的二阶导数沿法向方向：

$$\mathbf{x}''(s) = \kappa(s)\mathbf{n}(s)$$

如果只关心曲率大小：

$$|\kappa(s)| = \|\mathbf{x}''(s)\|$$

如果考虑法向方向约定，那么曲率可以带符号。

法向反向时：

$$\mathbf{n}\mapsto-\mathbf{n}$$

曲率符号也会改变。

直线的曲率

直线可以写成：

$$\mathbf{x}(s) = \mathbf{p}_0+s\mathbf{t}$$

其中 $\mathbf{t}$ 是单位方向。

一阶导数：

$$\mathbf{x}'(s)=\mathbf{t}$$

二阶导数：

$$\mathbf{x}''(s)=\mathbf{0}$$

所以：

$$\kappa(s)=0$$

如果一条曲线处处曲率为 0，它就是线段。

圆的曲率

半径为 $R$ 的圆可以用弧长参数写成：

$$\mathbf{x}(s) = \begin{bmatrix} R\cos(s/R)\\ R\sin(s/R) \end{bmatrix}$$

一阶导数：

$$\mathbf{x}'(s) = \begin{bmatrix} -\sin(s/R)\\ \cos(s/R) \end{bmatrix}$$

它的长度为 1。

二阶导数：

$$\mathbf{x}''(s) = \begin{bmatrix} -\frac{1}{R}\cos(s/R)\\ -\frac{1}{R}\sin(s/R) \end{bmatrix}$$

曲率大小：

$$\kappa = \|\mathbf{x}''(s)\| = \frac{1}{R}$$

所以：

圆越小，弯得越厉害，曲率越大。
圆越大，越接近直线，曲率越小。

例如：

• $R=1$，曲率 $\kappa=1$。
• $R=2$，曲率 $\kappa=0.5$。
• $R=10$，曲率 $\kappa=0.1$。

密切圆

曲率还可以通过 osculating circle，也就是密切圆来理解。

密切圆是在某一点处最贴近曲线的圆。

曲率与密切圆半径满足：

$$\kappa=\frac{1}{R}$$

其中 $R$ 是密切圆半径。

直观上：

• 曲线局部很弯：密切圆小，$R$ 小，$\kappa$ 大。
• 曲线局部很平：密切圆大，$R$ 大，$\kappa$ 小。
• 直线可以看成半径无限大的圆，$\kappa=0$。

用三点理解密切圆

书中给出一个构造方式：

取曲线上三个点：

$$\mathbf{x}(u^-),\quad \mathbf{x}(u),\quad \mathbf{x}(u^+)$$

其中：

$$u^-<u<u^+$$

这三个点确定一个圆。

当：

$$u^-\rightarrow u, \qquad u^+\rightarrow u$$

这个三点圆的极限就是点 $\mathbf{x}(u)$ 处的密切圆。

这也解释了为什么离散网格上常用局部邻域去估计曲率：连续曲率可以看作局部几何极限，离散曲率则用邻域点近似这个极限。

参数化无关性

曲率和长度是 Euclidean invariants。

这意味着它们在刚体变换下不变：

• 平移不改变长度和曲率。
• 旋转不改变长度和曲率。

它们也不应依赖具体参数化。

例如前面两条参数曲线：

$$\mathbf{x}_1(u)=(u,u)^T$$

和：

$$\mathbf{x}_2(u)=(u^2,u^2)^T$$

虽然速度函数不同，但它们描述的是同一条直线段。

因此曲率都为：

$$\kappa=0$$

总长度都为：

$$L=\sqrt{2}$$

和后续曲面的关系

曲线这一节是第 3 章的入口。

后面讨论曲面时，会把这些概念推广：

曲线概念	曲面对应概念
切向量 $\mathbf{x}'$	两个偏导 $\mathbf{x}_u,\mathbf{x}_v$
法向量 $\mathbf{n}$	曲面法向 $\mathbf{x}_u\times\mathbf{x}_v$
弧长 metric	第一基本形式
曲率 $\kappa$	主曲率、平均曲率、高斯曲率
局部弯曲	shape operator / second fundamental form

对于 polygon mesh，后续还要进一步离散化这些概念。

本节记忆点

• 平面参数曲线写作：

$$\mathbf{x}(u)=(x(u),y(u))^T$$

• 切向量是：

$$\mathbf{x}'(u)$$

• regular parameterization 要求：

$$\mathbf{x}'(u)\neq0$$

• 曲线段长度为：

$$l(c,d)=\int_c^d\|\mathbf{x}'(u)\|\,du$$

• 弧长参数为：

$$s(u)=\int_a^u\|\mathbf{x}'(t)\|\,dt$$

• 弧长参数化下：

$$\|\mathbf{x}'(s)\|=1$$

• 曲率定义为：

$$\kappa(s)=\|\mathbf{x}''(s)\|$$

• 半径为 $R$ 的圆曲率为：

$$\kappa=\frac{1}{R}$$

• 曲率也可以理解为密切圆半径的倒数。

后续问题

进入 3.2 时可以重点关注：

1. 曲线的一个参数如何推广到曲面的两个参数 $(u,v)$？
2. 曲面的 tangent plane 如何由 $\mathbf{x}_u,\mathbf{x}_v$ 张成？
3. 曲面的 metric 如何由第一基本形式描述？
4. 曲线曲率如何推广成曲面的主曲率、平均曲率和高斯曲率？