1.3 参数化表面表示

来源：Mario Botsch 等人的 Polygon Mesh Processing，第 1 章 Surface Representations，1.3 小节 Parametric Surface Representations。

这一节讨论参数化表面表示。它的基本思想是：用一个二维参数域 $\Omega$ 上的函数，把二维点映射到三维表面。

本节核心

参数化表面用一个向量值函数定义：

\mathbf{f}: \Omega \rightarrow S

其中：

\Omega \subset \mathbb{R}^2, \qquad S \subset \mathbb{R}^3

也就是说，表面上的点由二维参数坐标生成：

\mathbf{p}=\mathbf{f}(u,v)

这种表示的核心优势是：很多原本发生在三维表面 $S$ 上的问题，可以转化到二维参数域 $\Omega$ 中处理。

参数化表示的优势

采样方便

如果想在表面上采样点，可以先在参数域中采样：

(u,v)\in \Omega

然后计算：

\mathbf{p}=\mathbf{f}(u,v)

这样就把三维表面采样问题变成了二维域采样问题。

邻域关系清楚

在参数化表示中，geodesic neighborhood 比较容易获得。

如果两个参数点在 $\Omega$ 中相邻：

(u_1,v_1) \approx (u_2,v_2)

那么它们映射到表面上的点通常也是表面邻近点：

\mathbf{f}(u_1,v_1) \approx \mathbf{f}(u_2,v_2)

这比直接在三维空间中根据欧氏距离判断邻域更可靠，因为空间距离近不一定表示沿表面相邻。

变形操作直接

如果有一个三维变形函数：

\mathbf{d}: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3

那么可以通过函数复合修改表面：

\mathbf{d}\circ \mathbf{f}

也就是：

(u,v) \mapsto \mathbf{d}(\mathbf{f}(u,v))

这让某些几何编辑和自由形变操作比较自然。

参数化表示的弱点

参数化表面并不总是方便。

最大的问题是：参数域 $\Omega$ 必须匹配表面 $S$ 的拓扑和度量结构。

参数化本身可能很难

复杂表面通常很难找到一个低失真的参数化。

所谓低失真，是指参数域和三维表面上的距离、角度、面积变化尽量一致。

如果表面被拉伸、扭曲、折叠得很厉害，参数化质量就会下降。

这也是为什么后续第 5 章会专门讨论 parameterization。

拓扑修改困难

如果 $\mathbf{f}$ 连续且单射，那么表面 $S$ 的拓扑基本由参数域 $\Omega$ 决定。

这意味着，如果要改变表面拓扑，例如：

合并两个区域。
切开一个区域。
删除一块表面。
打洞或补洞。

就不能只改三维表面，还要同时改参数域和参数化函数。

这通常很麻烦。

空间查询不方便

对于参数曲面，inside / outside 查询、signed distance 查询、closest point 查询通常不便宜。

例如，给定三维点 $\mathbf{x}$ ，想知道它到表面 $S$ 的最近点，需要求：

\min_{(u,v)\in \Omega} \|\mathbf{x}-\mathbf{f}(u,v)\|

这一般是一个非线性优化问题。

同样，自交检测也比较困难，因为需要判断参数域中不同点是否映射到同一个三维位置。

注意

参数化表示擅长采样、局部邻域和表面编辑，但不擅长拓扑变化、inside/outside 查询和自交检测。

1.3.1 Spline Surfaces

Spline surfaces，尤其是 tensor-product spline surfaces，也就是常说的 NURBS，是 CAD 系统中的标准表面表示。

它们常用于：

高质量曲面建模。
Class A 曲面。
工业设计。
自由曲面编辑。

Tensor-product spline 的形式

一个双变量 tensor-product spline surface 可以写成：

\mathbf{f}(u,v) = \sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{k} \mathbf{c}_{ij}N_i^n(u)N_j^n(v)

其中：

$\mathbf{c}_{ij}$ 是控制点。
$N_i^n(u)$ 和 $N_j^n(v)$ 是 B-spline 基函数。
控制点组成 control mesh。

如果基函数满足非负性和 partition of unity：

N_i^n(u)\geq 0, \qquad \sum_i N_i^n(u)=1

那么表面点就是控制点的凸组合。

这带来两个重要性质：

表面位于控制网格的凸包内。
控制点只在局部范围内影响曲面。

因此，设计者可以通过移动控制点比较直观地调整曲面形状。

Spline 的局限

Tensor-product surface 本质上来自矩形参数域：

[u_n,u_m]\times [v_n,v_k]

所以它天然表示的是一个矩形曲面片。

如果要表示拓扑复杂的形状，就必须把模型拆成很多 patches。

这会带来问题：

CAD 模型可能包含大量曲面片。
patch 之间必须满足光滑连接约束。
全局编辑时要维护很多拓扑和几何条件。
后续处理会变复杂。

此外，传统 tensor-product spline 的局部 refinement 也不方便。

如果想增加控制点，通常要切分整行或整列参数区间，这会影响一大片区域，而不是只影响局部。

书中提到 T-splines 可以缓解这个问题，因为它们支持更局部的控制网格细化。

1.3.2 Subdivision Surfaces

Subdivision surfaces 可以看作 spline surfaces 的推广。

它们同样由粗控制网格控制，但相比 tensor-product splines，它们可以表示任意拓扑的曲面。

基本过程是：

粗控制网格
-> 拓扑细分
-> 根据局部 averaging rules 更新顶点位置
-> 重复迭代
-> 极限曲面

经过精心设计的细分规则，在极限情况下可以得到具有可证明光滑性的曲面。

Subdivision 的优点

Subdivision surfaces 的优点包括：

不像 tensor-product splines 那样受矩形 patch 拓扑限制。
可以处理任意流形拓扑。
具有天然层级结构。
适合高效的多分辨率处理。

它在动画、建模和高质量曲面表示中很常见。

Subdivision 的限制

Subdivision surfaces 也有限制。

它们生成的网格具有 semiregular subdivision connectivity。

也就是说，网格连接关系必须来自某个粗网格的重复均匀细分。

但现实中的任意三角网格通常不满足这种连接结构。

如果要把任意网格变成 subdivision connectivity，就需要先 remesh。

这个过程相当于重新采样表面，可能造成：

采样伪影。
信息损失。
特征变钝。
局部细节变化。

因此，本书的目标更偏向直接处理 arbitrary triangle meshes，而不是要求输入先变成 subdivision mesh。

1.3.3 Triangle Meshes

很多几何处理算法把 triangle mesh 简单看成一堆三角形。

但从数学上看，每个三角形都可以通过 barycentric parameterization 定义一个 piecewise linear surface patch。

重心坐标

对于三角形：

[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]

内部任意点 $\mathbf{p}$ 可以唯一写成：

\mathbf{p} = \alpha \mathbf{a} +\beta \mathbf{b} +\gamma \mathbf{c}

并满足：

\alpha+\beta+\gamma=1, \qquad \alpha,\beta,\gamma\geq 0

这里的 $\alpha,\beta,\gamma$ 就是 barycentric coordinates。

如果参数域中也选一个三角形：

[\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}]

那么可以定义线性映射：

\alpha\mathbf{u} +\beta\mathbf{v} +\gamma\mathbf{w} \mapsto \alpha\mathbf{a} +\beta\mathbf{b} +\gamma\mathbf{c}

这说明每个三角形本身就是一个简单的参数曲面片。

三角网格由几何和拓扑组成

一个三角网格 $M$ 包含两部分。

拓扑部分

拓扑部分描述哪些顶点连成哪些面。

顶点集合：

V=\{v_1,\ldots,v_V\}

三角面集合：

F=\{f_1,\ldots,f_F\}, \qquad f_i\in V\times V\times V

有时为了高效处理，也会显式存储边集合：

E=\{e_1,\ldots,e_E\}, \qquad e_i\in V\times V

几何部分

几何部分给每个顶点一个三维位置：

\mathbf{p}_i = \mathbf{p}(v_i) = \begin{bmatrix} x(v_i)\\ y(v_i)\\ z(v_i) \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3

一旦顶点位置确定，每个三角面就嵌入到了三维空间中。

信息

即使网格只显式存了离散顶点和三角面，它表示的仍然是一个连续的 piecewise linear surface，而不只是一些离散点。

三角网格的逼近误差

如果用三角网格去逼近一个足够光滑的表面，piecewise linear approximation 的误差阶为：

O(h^2)

其中 $h$ 是最大边长。

这意味着，如果把边长减半：

h \mapsto \frac{h}{2}

误差大约变为：

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}

但每个三角形会被分成 4 个小三角形，因此面数大约变为：

F \mapsto 4F

所以三角网格的逼近误差大致和面数成反比。

曲率决定局部采样密度

误差的实际大小和真实表面的二阶项有关，也就是和曲率有关。

因此，合理的网格不应该均匀到处加密，而应该自适应：

平坦区域：低采样密度。
高曲率区域：高采样密度。
sharp feature 附近：保留更多几何元素。

这就是很多 remeshing / simplification / adaptive sampling 方法的核心原则。

三角网格的 2-manifold 条件

一个三角网格是 2-manifold，意味着每个点附近都像二维圆盘，边界处像半圆盘。

对三角网格来说，常见的 non-manifold 问题包括：

non-manifold edge：一条边关联超过两个三角形。
non-manifold vertex：多个面片团只在一个顶点处粘在一起。
self-intersection：表面发生自相交。

这些结构会破坏局部 geodesic neighborhood，使得很多算法无法定义稳定邻域。

注意

非流形网格不是单纯“不好看”，而是会让邻域、法向、曲率、参数化、平滑等基本操作失去明确意义。

Euler 公式和网格规模关系

对于闭合且连通的三角网格，有 Euler 公式：

V-E+F=2(1-g)

其中 $g$ 是 genus，可以直观理解为“洞柄数量”：

sphere： $g=0$
torus： $g=1$
double torus： $g=2$

在很多实际模型中， $g$ 相比顶点、边、面数量很小，因此右侧可以近似忽略。

又因为：

每个三角形有 3 条边。
每条内部流形边被 2 个三角形共享。

所以有近似关系：

F\approx 2V

E\approx 3V

平均顶点 valence 约为：

6

这些关系在分析网格算法复杂度、数据结构内存占用、文件格式规模时很有用。

三类参数化表示的对比

表示	优点	局限
Spline / NURBS	高质量光滑曲面，适合 CAD	patch 管理复杂，拓扑受限，局部 refinement 不方便
Subdivision surface	支持任意流形拓扑，层级结构好	需要 semiregular subdivision connectivity
Triangle mesh	简单、高效、适合任意离散输入	只有 $C^0$ 连续，光滑性需要离散估计

本书后续重点选择 triangle meshes，是因为它们灵活、直接、适合扫描和一般几何处理任务。

和 1.2 的关系

1.2 说明几何处理中更偏好：

h-refinement > p-refinement

也就是用更多简单片段逼近复杂表面。

1.3 中的 triangle mesh 正是这种思想的代表：

C^0 \text{ piecewise linear surface}

它牺牲了一部分解析光滑性，换来了简单、局部、灵活和高效。

本节记忆点

参数化表面由 $\mathbf{f}:\Omega\rightarrow S$ 定义，把二维参数域映射到三维表面。
参数化表示适合采样、表面邻域、纹理和某些变形操作。
参数化表示不擅长拓扑修改、inside/outside 查询和自交检测。
NURBS 是 CAD 中常用的 tensor-product spline surface。
Tensor-product splines 对复杂拓扑不友好，通常需要很多 patches。
Subdivision surfaces 可以表示任意流形拓扑，但要求 subdivision connectivity。
Triangle mesh 是 piecewise linear parametric surface。
三角网格包含拓扑 $V,E,F$ 和几何顶点位置 $P$ 。
三角网格逼近光滑表面的误差为 $O(h^2)$ 。
对闭合连通三角网格，近似有 $F\approx 2V$ 、 $E\approx 3V$ 、平均 valence 约为 6。

后续问题

进入 1.4 时可以重点关注：

隐式表面为什么更适合 inside/outside 查询？
为什么 signed distance function 是自然的隐式表示？
隐式表示为什么方便拓扑变化，但不方便采样和贴纹理？
regular grid 和 adaptive data structures 的内存开销差别在哪里？

本节核心​

参数化表示的优势​

采样方便​

邻域关系清楚​

变形操作直接​

参数化表示的弱点​

参数化本身可能很难​

拓扑修改困难​

空间查询不方便​

1.3.1 Spline Surfaces​

Tensor-product spline 的形式​

Spline 的局限​

1.3.2 Subdivision Surfaces​

Subdivision 的优点​

Subdivision 的限制​

1.3.3 Triangle Meshes​

重心坐标​

三角网格由几何和拓扑组成​

拓扑部分​

几何部分​

三角网格的逼近误差​

曲率决定局部采样密度​

三角网格的 2-manifold 条件​

Euler 公式和网格规模关系​

三类参数化表示的对比​

和 1.2 的关系​

本节记忆点​

后续问题​